Infintesimo

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Il calcolo infinitesimale

è il più grande edificio

 costruito dall’uomo.

Anonimo

 

 

UN NUMERO INFINITESIMO DI ANGELI

 

Per quanto possa sembrare assurdo, i monaci medioevali, interrogandosi sul numero di angeli che potevano occupare una capocchia di uno spillo, arrivarono a concepire il concetto di infinitesimo o infinitamente piccolo e applicarlo ad una situazione piuttosto buffa, ma semplice da capire.

I monaci iniziarono con qualche supposizione: appurando che Dio fosse onnipotente,  deducevano che era per lui possibile creare angeli di ogni dimensione, anche piccolissimi. Le leggi della natura che Dio aveva creato, però, erano immutabili, per questo neppure lui avrebbe potuto creare angeli che non occupassero alcuno spazio, né un frammento di materia capace di contrarsi o espandersi a seconda della presenza o meno di angeli. Le dimensioni (definite) di questi esserini, quindi, avrebbero potuto adattarsi a qualsiasi luogo, persino una capocchia di uno spillo. I monaci applicarono a questo dilemma ipotesi logiche: immaginarono che Dio ponesse un solo angelo sullo spillo e che ne occupi tutta l’estremità da solo. A questo punto, l’Onnipotente potrebbe creare un angelo grande la metà, e farne stare due sulla capocchia anziché uno. Con un’ulteriore divisione posso farcene stare quattro, poi 64 o 1024.

 

      

Fig. 1                                                 Fig. 2

 

Dio, però, anziché creare miriadi di angioletti sempre uguali (vedi 1), potrebbe cominciare ponendo sullo spillo un angelo che occupi metà spazio, poi uno grande la metà del primo, poi un altro la metà del secondo e così via(vedi 2). I monaci dedussero che Dio poteva porre infiniti angeli, sempre più piccoli, sulla capocchia dello spillo senza mai esaurire lo spazio a disposizione: la somma delle dimensioni degli angeli, infatti, non arriverà mai a occupare l’intero.

 

1 + ½ = 3/2

3/2 + ¼ = 7/4

7/4 + 1/8 = 15/8

….

 

Anche noi possiamo osservare che la somma delle grandezze si avvicina sempre più a 2, senza però mai arrivarci: la capocchia, infatti, è solo in grado di contenere due esseri grandi come l’angelo di partenza, né un po’ di più, né poco meno. Se il nostro spazio fosse esteso 1,99999999999 anziché 2 (conservando le premesse iniziali), Dio riuscirebbe a fare stare un numero finito di angeli sullo spillo. Per questo motivo lo spazio a disposizione deve essere esattamente 2: in questo senso possiamo dire che sono gli angeli a definire la dimensione della capocchia.

Tale possibilità di suddivisione è chiamata principio della divisibilità infinita o illimitata.

Abbiamo in precedenza affermato che nessun angelo, per quanto minuscolo, sarà mai di grandezza zero, né il numero di questi arriverà mai a due, ma la somma degli infiniti angeli definisce il numero due, mentre la numerazione che va man mano rimpicciolendo definisce lo zero. La possibilità di definire una quantità finita con una serie qualifica quella serie come convergente, mentre i numeri definiti dalla serie (in questo caso 0 e2 ) sono detti limiti.

 

IL PARADOSSO DI ACHILLE E LA TARTARUGA

 

Anche gli antichi Greci avevano pensato al concetto di infinito, “concretizzandolo” col paradosso di Achille e la tartaruga, immaginato dal filosofo Zenone: immaginavano una corsa tra i due, dove, per motivi di lealtà, alla tartaruga fosse dato un po’ di vantaggio rispetto all’avversario. Achille, ad un certo punto, avrà percorso la metà del suo tragitto, e gli rimarrà l’altra parte. In un punto successivo, ipotizzando che i due continuino a correre a velocità relativa costante, egli avrà ancora un’altra metà da percorrere, sempre più breve della precedente, ma il corridore non raggiungerà mai la tartaruga, poiché tra i due c’è un numero infinito di distanze. Per quanto sia minuscola, Achille non compirà mai l’ultima mezza distanza della sua corsa immaginaria. Troviamo la soluzione del paradosso nei limiti: se misurassimo ogni distanza che separa i contendenti, le vedremmo diventare sempre più piccole e avvicinarsi allo zero (tende a zero). Se Achille potesse percorrere le infinite distanze intermedie, allora raggiungerebbe la tartaruga.

 

INFINITO E INFINITESIMALE

 

L’infinito e gli infinitesimi erano noti prima di Newton e Leibniz, ma non si sapeva come trattarli matematicamente.

In geometria i Greci arrivarono agli infinitesimali cercando un rapporto tra la diagonale di un quadrato e la lunghezza di un lato. Questo rapporto risultava essere un numero con una parte decimale senza fine, ossia infinitamente lunga, e non ripetitiva. I Greci risolsero la trattazione di queste grandezza semplicemente eliminando la parte decimale, considerando i numeri oltre la virgola grandezze talmente piccole da poter essere trascurate. L’infinitamente piccolo, infatti, fu un concetto introdotto da Cartesio nel tentativo di trovare un’espressione matematica per definire una curva prodotta da una funzione algebrica (di questo si parlerà più avant).

Newton e Leibniz teorizzarono questa “esperienza” matematica: essi avrebbero trattato gli infinitesimali come normali quantità algebriche, racchiuse in un simbolo, D, posto davanti a x, y o qualsiasi altro simbolo. Poiché nel calcolo infinitesimale D precede sempre un altro simbolo, questo significa che D non è un valore dato (x o y), bensì la sua variazione. L’utilizzo di simboli, ovviamente, serve per generalizzare  i cambiamenti a cui può andare incontro una variabile e, di conseguenza, la costante, ed in particolare c’è l’esigenza di semplificare la relazione tra costante e variabile (effetto e causa):

 

Dy / Dx *

 

in questo caso vediamo i delta semplificarsi perfettamente, ma solo nei casi più semplici avviene: normalmente rimangono piccole quantità incrementali, che devono essere risolte con gli infinitesimi. Nel calcolo, gli infinitesimi possono essere risolti facendoli approssimare a zero.

 

Dx       0

 

(i matematici usano il simbolo dy/dx

 quando Dx si approssima a zero)

 

 

Lo zero (concetto arrivato in Occidente dall’India, grazie agli Arabi, attorno all’ XI sec) del calcolo infinitesimale non è lo stesso dell’aritmetica: l’infinitesimo, come abbiamo visto, tratta di quantità molto piccole ed una volta che Dx sia giunto a zero, non trattiamo più col calcolo infinitesimale: il cambiamento di x può essere reso infinitesimamente piccolo, ma non nullo; lo zero è il limite (inarrivabile) del processo.

L’algebra ha una concezione statica della realtà: di un fenomeno ne coglie un istante che rimarrà fermo durante tutto lo studio. L’analisi, invece, descrive un fenomeno prima di giungere ad un punto, cogliendone il dinamismo. In questo contesto è molto significativo il dilemma che sorgeva agli antichi Greci di fronte al volo di una freccia: loro, come noi del resto, la vedevano muoversi, ma capivano che quel movimento era dato da una sequenza infinita di momenti statici. Si muove o no, allora? Ovviamente sì, ma questo è possibile intuirlo solo con l’introduzione dell’analisi.

 

* NB: la x di cui parleremo non è “soluzione”, vale a dire che noi non intendiamo scoprire il valore nascosto dell’incognita, ma trattiamo di una variabile in relazione con altre variabili.

 

 

L’ALGEBRA INCONTRA LA GEOMETRIA (e vissero tutti felici e contenti…)

 

Una funzione è una formula in cui i valori numerici specifici dati ad un incognita determinano altri valori specifici in un’altra.

 

 

Se x vale 2

y = 3 x           y = 6  

 

 

Normalmente, però, alle funzioni algebriche si associano figure geometriche.

Cartesio ne invento la forma: dispose un’asse orizzontale a cui assegnò i numeri usati (x) ed un’asse verticale dove figuravano i prodotti (y). Relazionando i punti sul grafico cartesiano, ottengo un disegno, curva o retta, corrispondente ad una singola funzione. Noteremo dalle tabelle seguenti che per la seconda funzione, dove x è una potenza, la corrispondenza aumenti notevolmente: questo andamento corrisponde nel grafico ad una curva, mentre il primo ad una retta.

 

 

 

 

 

 

 


X

Y

0

3

1

5

2

7

3

9

 

 

y = 2x + 3

                                 

 

                             

                                                                                                         

Fig. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 


X

Y

0

3

1

5

2

11

3

21

 

 

 

 

y = 2x² + 3

 

 

                                                                                                                                             Fig. 4

 

Il sistema i permette di ottenere una figura da una funzione, ma il problema che Cartesio stesso non riuscì a risolvere era l’opposto: come arrivare alla descrizione algebrica di una curva? A questo punto è necessario ricollegarsi al calcolo infinitesimale.

 

PENDENZA

 

Per una retta, la pendenza indica precisamente di quanto “saliamo” in relazione a quanto avanziamo. Molto semplicemente: se noi sappiamo di stare salendo su una via di montagna con 6 % di pendenza (come i cartelli stradali indicano, a volte), noi sappiamo di innalzarci rispetto al livello di partenza di 6 metri per ogni 100 che percorriamo. Una linea retta, infatti, ha la stessa pendenza in ogni punto, mentre una curva varia sempre. In matematica ci serviamo della tangente per definire la pendenza in un singolo punto: quando essa è inclinata in alto (dalla parte destra), la pendenza sale, viceversa se è rivolta verso il basso la pendenza cala; se ci troviamo in piano la tangente sarà orizzontale, verticale, invece, nel punto massimo (i massimi ed i minimi hanno pendenza zero).

 

Fig. 5

 

Costruendo un triangolo rettangolo nel grafico cartesiano rappresentante una curva, con lati due segmenti paralleli agli assi delle ascisse e delle ordinate (Dy,  Dx), sono costretta a tracciare un’ipotenusa vicina all’andamento curvilineo della funzione, ma non sovrapposto. L’ipotenusa, quindi, non è fedele alla pendenza, ma è un’approssimazione. Il tratto compreso tra i punti A e B, infatti, non è altro che la differenza tra un punto iniziale e uno finale di un qualsiasi andamento (vedi 3).

 

               

Fig. 6                                                             Fig. 7

 

Se io volessi rendere questa approssimazione ancora più esatta, quindi, mi basterebbe considerare un triangolo molto più piccolo, cosicché l’ipotenusa di esso sia meno distante dalla curva. In un delirio di onnipotenza, possiamo paragonare questo nostro lavoro a quello che Dio compiva con gli angeli: diventando sempre più piccole, le nostre misure si avvicineranno sempre di più ad un numero specifico (vedi 4).

 

QUALCHE ESEMPIO DI APPLICAZIONE

 

*      Newton impiegò il calcolo infinitesimale per descrivere quantitativamente il moto: un oggetto mobile cambia posizione in ogni istante, ma il movimento è continuo. Come poter descrivere questa continuità, potendo noi solo misurare dei momenti? Newton ridusse quasi a zero gli intervalli nei quali l’oggetto cambi posizione, così da rendere un’approssimazione talmente trascurabile da poter cogliere il mutamento istantaneo.

*      Rimanendo nell’ambito della fisica, si utilizza lo stesso principio per trovare la forza esercitata da una molla: essa imprime una forza diversa in ogni momento, cosicché, se io volessi trovare il suo lavoro mediante un grafico F Ds , dovrei considerare infiniti intervalli nell’area del sottografico per ridurre l’errore al minimo.

*      Nella vita di tutti i giorni, se dovessi misurare l’area di una mansarda il cui tetto è irregolare, applicherò sempre il metodo è sempre di porre sotto alla curva un numero altissimo di triangoli misurabili, in modo che l’area totale dei rettangoli si approssimi a quella reale del sottografico.

*      Le pellicole dei film si avvalgono dello stesso principio per ingannare l’occhio: essendo composte da moltissime foto che catturano una piccolissima variazione del movimento dell’immagine, rendono impercettibile alla vista umana il “divario” tra un momento e l’altro.

*      In ambito aziendale, posso usare i limiti per prevedere la stabilità di un andamento: se abbiamo un sistema per misurare i cambiamenti istantanei e continui, possiamo prevedere quando nel processo non avverranno più variazioni e la tendenza riprenderà a scendere. Ad esempio, un lavoratore bisognoso di denaro sarà disposto a fare sempre più straordinari (incremento) fino a quando non si stuferà (stallo) e, apprezzando di più la compagnia dei figli, deciderà di diminuire il numero di ore lavorative (calo).

 

 

Informazioni tratte dalla collezione “La lente di Galileo”,

 volume 9: “Come vincere la paura della matematica”, di Sheila Tobias

 

 

Anna Fiorentini

 

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