Concezione della matematica da parte dei vari filosofi

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MATEMATICA E FILOSOFIA IN ALCUNI FILOSOFI GRECI

Talete di Mileto (624-548)

Conobbe la scienza mesopotamica ed egiziana. È famoso per il teorema che un angolo inscritto in un semicerchio è retto. Tale teorema è forse di derivazione mesopotamica, ma quasi certamente la sua dimostrazione è di Talete, che perciò viene considerato il prima vero matematico, ossia il fondatore dell'impostazione deduttiva della geometria. La tradizione gli attribuisce altre quattro dimostrazioni:

1)Un cerchio viene bisecato dal suo diametro.

2)Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali.

3) Le coppie di angoli al vertice formati da due rette che si intersecano sono uguali.

4) Se due triangoli sono tali che due angoli e un lato di uno di essi sono uguali rispettivamente a due angoli e a un lato dell'altro, i triangoli sono congruenti.

Diogene Laerzio, seguito da Plinio e da Plutarco, riferisce che Talete misurò l'altezza delle piramidi egiziane osservando la lunghezza delle loro ombre nel momento in cui l'ombra di un bastoncino verticale era uguale alla sua altezza. Erodoto racconta la storia della previsione di un'eclisse solare fatta da Talete.

 

Anassagora di Clazomene (morto nel 428)

Rappresenta perfettamente lo spirito dell'indagine razionale e il desiderio di conoscenza: nel mondo greco la matematica era più strettamente collegata con la filosofia che non con questioni di carattere pratico. Anassagora tentò di risolvere il problema della quadratura del cerchio. A quell'epoca circolavano ad Atene altri due famosi problemi, la duplicazione del cubo e la trisezione dell'angolo, problemi che si pretendeva, cosa impossibile, di risolvere solo con la riga e il compasso.

 

Ippocrate di Chio (da non confondere con l'omonimo medico di Coo)

Riuscì facilmente da ottenere la prima rigorosa quadratura di un'area curvilinea nella storia della matematica.

 

Zenone di Elea (450)

Cercò di dimostrare la contraddittorietà insita nei concetti di molteplicità e divisibilità e seguì il metodo dialettico, anticipando Socrate nel modo indiretto di argomentare che partendo dalle premesse dell'oppositore, le riduceva a una assurdità. Contro le concezioni della scuola pitagorica Zenone sviluppò i sui paradossi, fra i quali i più noti sono quelli sul movimento, specialmente i seguenti quattro:

1)Il paradosso della "dicotomia".

2)Quello di Achille.

3)Quello della freccia.

4)Quello dello stadio.

Il primo si basa su questo ragionamento: un oggetto in movimento, prima che possa percorrere una data distanza, deve innanzitutto percorre metà di tale distanza; ma prima di poter fare ciò, deve percorrere innanzitutto il primo quarto della distanza; e prima di questo, il primo ottavo, e così via attraverso un numero infinito di suddivisioni. Il corridore che vuole partire deve percorrere un numero infinito di tali suddivisioni in un periodo di tempo finito; ma è impossibile esaurire una collezione di infiniti elementi, e pertanto l'inizio del movimento è impossibile. Il secondo paradosso è simile al primo tranne che la suddivisione infinita è progressiva piuttosto che regressiva. Qui Achille gareggia con una tartaruga che parte in posizione avvantaggiata. Il ragionamento mostra che Achille, per quanto veloce possa correre, non potrà mai superare la tartaruga: infatti quando raggiungerà la posizione iniziale della tartaruga, questa sarà già andata avanti coprendo una certa breve distanza; e così il processo continua indefinitamente.

I paradossi della dicotomia e di Achille dimostrano che, se si assume l'infinita suddivisibilità dello spazio e del tempo, il movimento risulta impossibile; i paradossi della freccia e dello stadio mostrano che il movimento è ugualmente impossibile se si assume il contrario, ossia che la suddivisibilità dello spazio e del tempo termini in elementi indivisibili. Nel paradosso della freccia Zenone sviluppa questo ragionamento: un oggetto che vola occupa sempre uno spazio uguale a se stesso; ma ciò che occupa sempre uno spazio uguale a sé stesso non è in movimento; pertanto la freccia che vola è in quiete in ogni istante, cosicché il suo movimento è un’illusione. La dimostrazione del paradosso dello stadio risulta più laboriosa e richiede qualche figura. 

Se la scuola pitagorica ha il merito della scoperta del numero irrazionale, come la radice quadrata di 2, che è espressione dell'incommensurabilità tra la diagonale e il lato del quadrato, Zenone, considerando l'infinitamente piccolo come equivalente al nulla, può definirsi il precursore della scoperta moderna del differenziale; la sua teoria del moto apparente e della divisibilità all'infinito ha suscitato grande interesse nella fisica e nella matematica moderne.

 

Democrito di Abdera (460-370)

La chiave della matematica di Democrito va senza dubbio trovata nella sua dottrina fisica, l'atomismo. Tutti i fenomeni andavano spiegati, sosteneva Democrito, in termini di atomi impenetrabilmente duri, infinitamente piccoli e di forma e dimensioni infinitamente svariate, che si muovevano incessantemente nello spazio vuoto. È possibile che l'atomismo di Democrito sia stato suggerito dall'atomismo geometrico dei pitagorici e non è sorprendente che i problemi matematici cui era principalmente interessato Democrito fossero quelli che richiedevano una sorta di metodo infinitesimale. Forse Democrito dimostrò che un prisma triangolare può essere diviso in tre piramidi triangolari, le quali, prese a due a due, hanno uguale altezza e uguale area di base; e ne aveva poi dedotto che piramidi che hanno la stessa altezza e basi uguali sono uguali. Ciò poteva venire giustificato soltanto mediante l'applicazione di tecniche infinitesimali.

Sei sono i problemi principali della matematica e della geometria all'epoca di Democrito: la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo, la trisezione dell'angolo, il rapporto tra grandezze incommensurabili, i paradossi concernenti il movimento e la validità dei metodi infinitesimali. 

 

Socrate

Il suo influsso sullo sviluppo della matematica fu trascurabile. Ciò rende ancor più sorprendente il fatto che fosse un suo discepolo e ammiratore, Platone, colui che divenne l'ispiratore del pensiero matematico del IV a.C.

 

Aristotele

Le discussioni aristoteliche intorno all'infinito attuale e potenziale in geometria e in matematica hanno esercitato un influsso più o meno forse su matematici posteriori che si sono occupati del problema dei fondamenti della matematica. Aristotele discute poi dell'infinito nel contesto matematico: egli nega l'esistenza dell'infinito, che negherà anche parlando di cosmologia: il cosmo è una cosa finita .

L'infinito per Aristotele esiste solo potenzialmente, ma non è mai effettivamente attuabile.

Non esiste come realtà fisica e neanche come realtà matematica: esiste solo potenzialmente.

Concentriamoci sul contesto matematico:

Aristotele sa bene che ogni numero è aumentabile di un’unità: l'infinito numerico è però solo potenziale: si usano sempre e solo numeri finiti che si possono aumentare di una unità: non c'è mai in atto un numero infinito, solo potenzialmente c'è . L'infinito esiste anche nell'infinitamente piccolo (sempre potenzialmente): si può dividere all'infinito, ma in realtà non si trova mai un numero infinito. Bisogna precisare che Aristotele aveva una concezione continua della realtà e non discreta (come invece aveva Democrito): per Aristotele i numeri non sono infinitamente divisibili (va detto che all'epoca non si conoscevano le frazioni). L'infinito potenziale esiste, sia nel piccolo sia nel grande; questo però vale solo per la matematica, perchè invece nel mondo fisico non c'è neppure in forma potenziale.

Le considerazioni di Aristotele sulla matematica sono state importantissime per la storia tant'è che ancora oggi abbiamo una concezione della matematica che ci deriva da Aristotele.

 

 

 

 

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