IL PROBLEMA DELLO SPAZIO FISICO

Spazio fisico e geometrie non euclidee nell'Ottocento

 

 

INTRODUZIONE

 

IL TENTATIVO DI GAUSS DI STABILIRE LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO FISICO

 

POINCARE'

 

EDDINGTON

 

LA GRAVITAZIONE

 

EINSTEIN E REICHENBACH

 

BIBLIOGRAFIA

 

AUTORI

 

Sommario

INTRODUZIONE

 

Nell'Ottocento alcuni matematici, soprattutto italiani e tedeschi, cercarono di estendere le teorie classiche della fisica matematica, come la meccanica e le teorie del potenziale e dell'elasticità, agli spazi non euclidei utilizzando metodi e procedure propri della geometria differenziale. Alla base delle loro ricerche stava il tentativo di fornire un'interpretazione meccanica della propagazione dei fenomeni fisici attraverso lo spazio. In effetti, già nel Sei e Settecento, numerosi filosofi naturali avevano espresso l'ambizione comune di formulare una teoria meccanica che fosse in grado di spiegare in che modo avveniva la propagazione delle forze da un punto all'altro dello spazio. A questo scopo, essi avevano immaginato un fluido elastico, omogeneo e isotropo, l'etere, che riempiva l'intero universo e le cui deformazioni permettevano, attraverso il principio di azione e reazione, la trasmissione per contatto delle forze.

 

I tentativi di descrivere la propagazione dei fenomeni nello spazio, supposto anche dotato di curvatura, mediante l'azione meccanica di questo mezzo, si protrasse per tutto l'Ottocento. La descrizione delle forze fisiche mediante differenti sistemi di sforzi elastici attribuiti al fluido etereo offrì tra l'altro la possibilità di inserire la gravità, la luce, il calore e i fenomeni elettrici ed elettromagnetici in uno stesso contesto teorico. Queste ricerche concorsero a creare il substrato necessario alla nascita del calcolo tensoriale che, nelle mani di Einstein, si sarebbe rivelato lo strumento essenziale per la formulazione della teoria della relatività generale.

 

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IL TENTATIVO DI GAUSS DI STABILIRE LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO FISICO

 

Le due geometrie non euclidee si distinguevano per quanto riguarda la somma degli angoli interni di un triangolo. Gauss fu il primo a riconoscere con chiarezza che solo un'indagine sperimentale sullo spazio può decidere la natura della geometria che può meglio descriverlo.

Egli decise di sperimentare sui triangoli perché è di gran lunga più agevole che sperimentare su rette parallele. Egli trovò che la media delle misure della somma degli angoli interni era data da 179° 59' 59,320", che differiva da 180° di 0,680". Egli, che aveva già dato notevoli contributi alla teoria degli errori, trovò che tale differenza ricadeva entro l'errore probabile di misura ricavato dalla dispersione dei risultati. Perciò dedusse che lo spazio fisico, almeno in regioni limitate, è euclideo oppure, se non è euclideo, la deviazione è così piccola da non potere essere rilevata con gli strumenti allora disponibili.

 

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POINCARE'

 

Henri Poincarè (1862-1920), famoso matematico e filosofo francese, dedicò molta attenzione al problema della struttura geometrica dello spazio. Una delle sue intuizioni è così fondamentale per capire la fisica moderna, che è utile esaminarla a fondo. Supponiamo che i fisici scoprissero che la struttura vera dello spazio fosse non euclidea. In questo caso si troverebbero a dover scegliere fra due alternative: potrebbero accettare una geometria non euclidea come descrizione dello spazio fisico o potrebbero conservare la geometria euclidea, adottando nuove leggi che stabiliscano che tutti i corpi solidi (regoli) subiscono certe contrazioni ed espansioni sotto l'azione di forze, che agiscono solo in determinate condizioni. Poincarè sosteneva pure che i fisici avrebbero scelto sempre la seconda soluzione: preferiranno – diceva – conservare la geometria euclidea, perché è molto più semplice di quella non euclidea. Naturalmente Poincarè non conosceva il complesso spazio non euclideo che Einstein avrebbe proposto da lì a poco, perché altrimenti avrebbe reputato ancor meno verosimile la possibilità che i fisici abbandonassero la geometria euclidea. E' importante capire il punto di vista di Poincarè, perché ci aiuta  a capire le ragioni che hanno portato Einstein ad abbandonarlo. Immaginiamo un mondo bidimensionale in cui esseri bidimensionali si muovono spingendo attorno degli oggetti. Questi esseri piatti vivono non su un piano, ma sulla superficie di una sfera gigantesca; i loro movimenti sono limitati a una ristretta area della superficie della sfera. Supponiamo ora che le creature bidimensionali scoprano che, quando misurano i triangoli con i loro regoli, in ogni punto del loro continente vi sia la stessa curvatura positiva per i triangoli di uguali dimensioni. Questo fatto sperimentale farà loro sorgere il dubbio di trovarsi in un mondo fatto a sfera o in un mondo piano con la proprietà particolare che corpi, muovendosi lungo questo piano, espandono e si contraggono in certi modi prevedibili.. In che modo i fisici possono stabilire quale teoria è giusta? La risposta è che non vi è modo di decidere.

Vi è una infinità di modi diversi con cui i fisici sulla sfera possono descrivere il loro mondo e secondo Poincarè è solo una questione di convenzione la scelta di una teoria piuttosto che un'altra.

 

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EDDINGTON

 

L'esperimento di Eddington potrebbe fornire la prova del fatto che lo spazio fisico è non euclideo. La struttura dello spazio fisico in una regione si differenzia dalla struttura euclidea tanto più quanto più forte è il campo gravitazionale in quella regione.

Questa opinione è sostenuta da vari filosofi come Hans Reichenbach e Bertrand Russel, secondo i quali la filosofia kantiana deve essere considerata superata, perché non abbiamo conoscenza a priori di nessuna importante verità necessaria. Se alcuni pensano che qualche affermazione importante sia necessaria e conosciuta a priori, esiste sempre la possibilità che questa si riveli empiricamente falsa. Come esempio si può prendere la geometria euclidea: nel passato i suoi principi erano considerati verità necessarie conosciute a priori, ma ora le verifiche empiriche della relatività di Einstein hanno mostrato che i principi di Euclide non sono veri e che lo spazio è non euclideo.

Esiste, tuttavia, una spiegazione alternativa: possiamo supporre che il raggio proveniente dalla stella A consegua non una geodetica bensì una linea curva. Il campo gravitazionale del Sole influenza il percorso del raggio di luce e lo incurva, mentre quello proveniente dalla stella B segue una linea retta. Anche in questo caso come risultato finale la stella A sembrerà più vicina del normale alla stella B. In questo modo non è affatto necessario abbandonare la geometria euclidea.

 

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LA GRAVITAZIONE

 

Si assume per principio la validità della geometria euclidea e si cercano gli effetti della gravitazione sulla lunghezza dei regoli ed anche sul ritmo degli orologi, concludendo che in vicinanza di una grande massa la luce non viaggia più in linea retta, perché viene attirata e deviata durante il suo percorso. Possiamo sempre sostenere che la luce quando passa vicino ad una intensa sorgente gravitazionale non si muove più di moto rettilineo e quindi non può essere usata per costruire una linea retta (Kant).

Si assume per definizione che i regoli hanno la stessa lunghezza indipendentemente dal luogo nel quale si trovano e si scopre che nelle vicinanze di una grande massa lo spazio non è più euclideo, ma diventa curvo (e la sua curvatura è determinata dalla distribuzione delle masse), concludendo che la luce si propaga sempre lungo le geodetiche, cioè le linee rette dello spazio curvo (Reichenbach).

 

In conclusione, se vogliamo verificare le predizioni della relatività, bisogna prima definire la linea retta per mezzo di una determinata operazione fisica e successivamente la distanza fra due punti. In caso contrario se usiamo dei raggi di luce nessuno ci garantisce che si muovano in linea retta fra un punto e l'altro e se vengono usati dei corpi rigidi (regoli) non possiamo dire se il corpo subisca delle deformazioni (contrazioni o dilatazioni)  durante la misura di una distanza. La geometria euclidea non può essere falsificata usando solamente la relatività, ma occorre anche una definizione di uguaglianza fra regoli di misura. A seconda della definizione adottata si ottiene la validità o la non validità della geometria euclidea, per cui dobbiamo concludere che, sulla sola base della teoria della relatività, la geometria euclidea non può essere confutata: per raggiungere questo obiettivo bisogna effettuare delle scelte arbitrarie che consistono nel porre delle definizioni di uguaglianza fra regoli di misura. Nella teoria della relatività infatti i regoli appaiono come degli oggetti extrateorici, che servono per interpretare i risultati della teoria ma non sono da questa spiegati.

 

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EINSTEIN E REICHENBACH

 

Nel 1916, Einstein grazie alla formulazione della teoria della relatività generale contribuì fortemente allo studio del rapporto tra geometria e spazio fisico. Egli introdusse una quarta variabile, il tempo, e secondo la sua teoria la struttura dello spazio è determinata da spazi gravitazionali e non dalla geometria euclidea. Seguendo il linguaggio non euclideo adottato da Einstein non è possibile parlare di contrazioni gravitazionali dei corpi solidi nello spazio.

La teoria della relatività generale portava a prevedere che i raggi luminosi vengono deflessi passando nei pressi di un potente campo gravitazionale.

Si è convenuto di adottare questa formulazione proposta da Einstein perché certamente la più accurata ed omogenea: ciò comportava di considerare l'intera teoria dello spazio fisico più astratta e matematica.

La prima verifica sperimentale fu compiuta dall'astronomo inglese Eddington nel 1919. Le previsioni sui secondi d'arco formulate da Einstein erano esatte.

Contro il "convenzionalismo" sulle teorie equivalenti (euclidea – non euclidea) si pose il fisico tedesco Reichenbach, secondo il quale se si appoggiavano le idee convenzionaliste si escludeva la scienza geometrica, vera espressione dello spazio fisico. Egli concordava con Poincarè circa la relatività della geometria.

Reichenbach era convinto dell'esistenza di una geometria superiore, la "geometria naturale", secondo cui la lunghezza dei corpi potesse essere variata solo da causa di natura relativa al regolo e non da effetti "universali".

La teoria non euclidea della relatività generale forniva la geometria dello spazio fisico più corrispondente alla geometria naturale, essa quindi secondo Reichenbach rappresentava realmente la struttura dello spazio fisico.

Citiamo al proposito un brano significativo di Einstein e Infeld: " Nel corso dello sviluppo scientifico sorgono ognora nuovi ostacoli che impongono alla teoria carattere sempre più astratto. Avventure impreviste ci attendono ancora. Ma il nostro scopo finora resta pur sempre quello di una migliore comprensione della realtà. Nuovi anelli si aggiungono continuamente alla catena logica che unisce la teoria all'osservazione.

Dobbiamo allungare sempre più la catena se vogliamo liberare da supposizioni superflue e artificiose la via che conduce all'esperienza e se vogliamo abbracciare un dominio dei fatti sempre più vasto. Più le nostre supposizioni divengono semplici e fondamentali, più gli ingranaggi matematici del nostro ragionamento si complicano. La via che dalla teoria conduce all'osservazione diviene più lunga e più ardua. Per questo molte obiezioni furono sollevate contro la teoria.

Una obiezione tra le più comuni, da un punto di vista filosofico, è il fatto che la geometria non euclidea non può essere adottata perché non è possibile immaginarla: essa è in contrasto con il nostro modo di pensare, con la nostra intuizione. Talvolta questa obiezione è espressa in modo kantiano, altre volte in modo fenomenologico.

Certamente questo è un problema psicologico e non vi sono basi per affermare che le nostre intuizioni siano state preformate in maniera euclidea. Anzi vi sono ragioni eccellenti per ritenere che lo spazio visivo sia non euclideo. Si pensi alla sorprendente capacità della mente di adattarsi a qualsiasi tipo di immagine appaia sulla retina. Una persona fortemente astigmatica, per esempio, riceverà immagini fortemente distorte.

La sua immagine retinica di un bastone sarà più lunga quando osserva lo stesso bastone disposto verticalmente, ma è inconsapevole di questo fatto poiché le lunghezze di tutti gli oggetti che compaiono nel suo campo visivo sono alterate in maniera analoga.

Quando una persona di questo tipo adotta per la prima volta delle lenti correttive, il suo campo visivo rimane distorto per giorni finché il suo cervello non si accorda con le immagini normali che compaiono sulla retina, in modo analogo a quello che succederebbe ad una persona con visione normale nel caso adottasse occhiali distorcenti le immagini lungo una coordinata.

Helmoltz studiò a fondo questi casi e trovò solidi argomenti per sostenere che un bambino o un adulto che fosse sufficientemente condizionato da esperienze relative al comportamento dei corpi in un mondo non euclideo, sarebbe in grado di visualizzare la struttura non euclidea con la stessa facilità con cui può visualizzare la struttura euclidea.

Comunque, anche se questa ipotesi fosse infondata, vi è un argomento importante contro l'obiezione che la geometria euclidea non debba essere adottata perché non può essere immaginata. La capacità di visualizzare è una questione psicologica, del tutto irrilevante in fisica. La costruzione delle teorie fisiche non è limitata dalla capacità umana di visualizzare; in effetti la fisica moderna si è costantemente allontanata da quanto può essere osservato e immaginato."

 

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BIBLIOGRAFIA

 

Eddington – Spazio, tempo e gravitazione – Ed. Boringhieri

http://www.unict.it/mathesis/conferenze_1999/spazio~1.htm

http://pctidifi.mi.infn.it/IMOFI/_ARTICOLI/00000027.HTM

 

AUTORI

 

Comandini Niccolò'

Sbaraglia Fabio

Stringa Francesco

Vistoli Eugenio

 

 

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